Haydee Avila

martes, 24 de mayo de 2011

3.16.2 Determinación de la transformada inversa usando los teoremas Heaviside.

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o de Heaviside H: {0, + ∞} àR se define como:

3.16.1 Determinación de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Ejemplo.

Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$

en fraciones parciales

$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$

3.16 propiedades de la transformada inversa

Linealidad

Una propiedad que posee la TL-Inversa, la cual hereda de la TL, y que nos permitirá encontrar en algunas ocaciones la TL-Inversa es la propiedad de linealidad, la cual se enuncia en el siguiente teorema:

Sean F (s) y G (s) las TL de dos funciones f (t) y g (t) dadas y sea α una constante cualquiera. Entonces se cumple

L−1 {F (s) + G (s)} = L−1 {F (s)} + L−1 {G (s)} = f (t) + g (t)

L−1 {αF (s)} = αL−1 {F (s)} = αf (t)

o equivalentemente

L−1 {αF (s) + G (s)} = L−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αL−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αf (t) + g (t)

Traslación

jueves, 19 de mayo de 2011

3.15 algunas transformadas inversas

Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\}$

Solución
Puesto que

$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4}$

tenemos que

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t)$

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , siendo $f(t) \neq g(t)$ . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si

son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , entonces

; pero, si

son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$ , entonces se puede demostrar que las funciones

son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde

esta dada por

$\displaystyle f(t) = \begin{cases} 1 & \text{Si $t \geq 0$, $t \neq 1$, $t\neq 2$\ } \\ 3 & \text{Si $t=1$} \\ 4 & \text{Si $t=2$} \\ \end{cases}$

¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada

$\displaystyle {\cal L} \{g(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st}g(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert^{\infty}_0$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s}$