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martes, 17 de mayo de 2011

3.13 transformada de laplace de la funcion delta dirac

Se comienza expresando la función delta de Dirac en términos de la función escalón unitario:


\delta(t-t_0)=\frac{1}{2a}[u(t-(t_0-a))-u(t-(t_0+a))]


Según la linealidad la transformadade Laplace de esta expresión es:


\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=\frac{1}{2a}[\frac{e^{-s(t_0-a)}}{s}-\frac{e^{-s(t_0+a)}}{s}]=e^{-st_0}(\frac{e^{sa}-e^{-sa}}{2sa})


Puesto que se tiene la forma indeterminada 0/0 cuando a tiende a 0, aplicamos la regla de L´Hopital:


\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=\displaystyle\lim_{a \to{0}}{}\mathfrak{L}\left\{{\delta(t-t_0)}\right\}=e^{-st_0}\displaystyle\lim_{a \to{0}}{}(\frac{e^{sa}-e^{-sa}}{2sa})=e^{-st_0}




Ejemplo

Resolver y''+y=4\delta(t-2\pi)
sujeta a :
a) y(0)=1; y'(0)=0
b) y(0)=0; y'(0)=0

Solucion:
Para el inciso a:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:
s^{2}y(s)-s+y(s)=4e^{-2\pi s}
[s^{2}+1]y(s)=4e^{-2\pi s}+s
y(s)=\frac{4e^{-2\pi s}}{s^2+1}+ \frac{s}{s^2+1}
Usando la transformada inversa obtenemos:
y(t)=4sin(t-2\pi)\upsilon (t-2\pi)+cos(t)
y(t)=4sin(t)\upsilon (t-2\pi)+cos(t)

Para el inciso b:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:
s^{2}y(s)+y(s)=4e^{-2\pi s}
[s^{2}+1]y(s)=4e^{-2\pi s}
y(s)=\frac{4e^{-2\pi s}}{s^2+1}
Usando la transformada inversa obtenemos:
y(t)=4sin(t)\upsilon (t-2\pi)


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1 comentario:

  1. Carlos Zelada20 de mayo de 2011, 8:30

    Hola! Me da mucho gusto que tengas la iniciativa de hacer un blog de matematica, yo soy el creadoe de wikimatematica.org. estoy viendo que tienes problemas con las imagenes con mucho gusto te puedo ayudar con la imagenes en latex. Me pudes escribir a chzelada [at] galileo (punto) edu. Saludos!

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