Haydee Avila: 3.11 transformada de laplace de una ecuacion periodica

Funciones periódicas

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Sea $f: [0,+\infty[ \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$ una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ . Si es periódica, con periódo , entonces

$\displaystyle {\cal L} \{f(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t) dt$

Demostración
Usando la definición

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_T^{2T} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=2T+u}$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{2T}^{3T} \underbrace{e^{-st}f(t) dt}_{t=3T+u}) + \ldots + \int_{(n-1)T}^{nT} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=nT+u}) + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_0^{T} e^{-s(u+T)} \underbrace{f(u + T)}_{f(u+T)=f(u)} dt$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \ldots + \int_0^{T} e^{-s(u+nT)} \underbrace{f(u + nT)}_{f(u + nT)=f(u)} dt + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + e^{-3sT} + \ldots \right) \int_0^T e^{-su} f(u) du$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-su} f(u) du$

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde es la función periódica diente de sierra que se muestra en la figura 1.7.

Figura 1.7

Solución
El periódo de esta función es y su transformada esta dada por

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{2s}} \int_0^{2} e^{-st} f(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \int_0^1 te^{-st} dy + \int_1^2 (2-t) e^{-st} dt \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} - \frac{e^{-s}}{s} - \fr... ...-s}}{s^2} + \frac{e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{2e^{-s}}{s^2} \right)$

FUENTE: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node8.html

Haydee Avila

domingo, 15 de mayo de 2011

3.11 transformada de laplace de una ecuacion periodica

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